Dibujo de una función creciente.
Es decir, la función f es creciente si para cualquier par de
puntos x1 y x2 del dominio tales que x1<x2, se cumple que f(x1) ≤ f(x2).
Dibujo de una función creciente entre dos puntos.
También se puede estudiar el crecimiento a partir de la
derivada. Una función f es creciente si para todo punto x del dominio la
derivada es positiva, es decir f ’(x) ≥ 0.
La función es estrictamente creciente en todo su dominio si
para cualquier par de puntos x1 y x2 tales que x1<x2, se cumple que f(x1)
< f(x2).
Función creciente en un intervalo
Sean a y b dos elementos del dominio, tales que a < b y
formando el intervalo [a,b].
Una función es creciente entre a y b si para cualquier par
de puntos x1 y x2 del intervalo tales que x1<x2, se cumple que f(x1) <
f(x2). Es decir, es creciente en [a,b] si al aumentar la variable independiente
x, aumenta la variable dependiente y.
Dibujo de una función creciente en un intervalo.
Ejemplo de crecimiento en un intervalo
Función creciente en un punto
Sea una función f derivable en el punto a.
La función f es creciente en a si f ’(a) > 0. Es decir,
es creciente en a si la derivada es positiva.
Dibujo de una función creciente en el punto a.
Ejemplo de crecimiento en un punto
Intervalos de crecimiento y decrecimiento
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento explican los
trozos del dominio en los que la función crece o decrece.
Para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento se
realizará el siguiente procedimiento.
Derivar la función, obteniendo f ’(x).
Hallar las raíces de la derivada, es decir, los x tales que
la derivada sea 0.
Fórmula de las raíces de la derivada.
Crear intervalos abiertos con extremos las raíces de f ’.
Por ejemplo, si una función está definida en todos los
números reales (es decir, en (-∞,+∞)) y tiene como raíces el 1 y el 3, entonces
los intervalos a estudiar serían (-∞,1)
, (1,3)
y (3,+∞) .
Estudiar el signo que toma la derivada en un valor interior
de cada intervalo, de manera que:
Fórmula del crecimiento o decrecimiento según el signo de la
derivada.
Por ejemplo, si f ’(2)< 0, que es un punto interior de
(1,3), entonces la función es decreciente en dicho intervalo.
A partir del paso anterior, obtenemos todos los intervalos
de crecimiento y decrecimiento.
Ejemplo de intervalos de crecimiento y decrecimiento
Sea la función f definida en los número reales
(intervalo (-∞,+∞) ):
Fórmula de un ejemplo de función para estudiar los
intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Vamos a estudiar los intervalos de crecimiento y
decrecimiento que tiene.
Ejemplo de gráfica de una función para estudiar los
intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Derivamos la función, obteniendo f ’(x).
Derivada de un ejemplo de función para estudiar los
intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Hallamos las raíces de la derivada:
Cálculo de las raíces de la derivada de un ejemplo de
función.
Los intervalos abiertos con extremos las raíces de f ’
serán:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento del ejemplo de
función.
Estudiamos el signo que toma la derivada en los valores
interiores de cada intervalo, por ejemplo en el -1, el 1 y el 3:
Signo de la derivada en los diferentes intervales para
estudiar el crecimiento o decrecimiento.
Hallamos que:
f es creciente en
(-∞,0) y en (2,+∞) .
f es decreciente en
(0,2) .
Ejemplo de función creciente en un intervalo
Estudiar y demostrar que la función f(x)=x2 es creciente en
el intervalo [1,3].
Dibujo de un ejemplo de función para estudiar el crecimiento
y decrecimiento en un intervalo.
En el intervalo [1,3], los extremos son a=1 y b=3. Vamos a
ver en los puntos x1=1,5 y x2=2,5.
Cálculo del crecimiento y decrecimiento de la función en el
intervalo [1,3].
En el valor 1,5 la función f es menor que en el 2,5, y así
pasaría para todo par de puntos del intervalo x1 y x2. Por lo tanto la función
es creciente en el intervalo [1,3].
Ejemplo de función creciente en un punto
Demostrar que la función f(x)=x3-5x2+5x+4 es creciente en 0
y 3.
Dibujo de un ejemplo de función para estudiar el crecimiento
y decrecimiento en un punto.
Primero calcularemos la derivada de f:
Derivada de una función para estudiar el crecimiento y
decrecimiento en un punto.
Veamos en el punto x=0.
Cálculo de la derivada en el punto 0 para estudiar el
crecimiento y decrecimiento.
La derivada da f ’(0)=5 ≥ 0, por lo que f es creciente en 0.
Finalmente estudiaremos el punto x=3.
Cálculo de la derivada en el punto 3 para estudiar el
crecimiento y decrecimiento.
La derivada da f ’(3)=2 ≥ 0, por lo que f es creciente en 3.
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